Ile lwów potrzeba, aby zabić jagnię? Odpowiedź nie jest tak prosta, jak mogłoby się wydawać. Przynajmniej nie według teorii gier.

Teoria gry to dziedzina matematyki, która bada i przewiduje podejmowanie decyzji. Często wiąże się to z tworzeniem hipotetycznych scenariuszy lub „gier”, w których pewna liczba osób zwanych „graczami” lub „agentami” może wybierać spośród określonego zestawu działań zgodnie z szeregiem zasad. Każde działanie będzie miało „wypłatę”, a celem jest zwykle znalezienie maksymalnej wypłaty dla każdego gracza, aby ustalić, jak prawdopodobnie by się zachowali.

Ta metoda została wykorzystana w wielu różnych tematach, w tym: ekonomika, biologia, polityka i psychologiaoraz pomóc wyjaśnić zachowanie podczas aukcji, głosowania i konkurencji rynkowej. Ale teoria gier, dzięki swojej naturze, dała również początek zabawnym łamigłówkom.

Jedna z mniej znanych z tych łamigłówek polega na ustaleniu, w jaki sposób gracze będą rywalizować o zasoby, w tym przypadku głodne lwy i smaczną jagnięcinę. Grupa lwów żyje na porośniętej trawą wyspie, ale bez innych zwierząt. Lwy są identyczne, doskonale racjonalne i świadome, że wszystkie inne są racjonalne. Zdają sobie również sprawę, że wszystkie inne lwy są świadome, że wszystkie inne są racjonalne i tak dalej. Ta wzajemna świadomość jest określana jako „Powszechnie wiadomo”. Daje pewność, że żaden lew nie zaryzykuje ani nie spróbuje przechytrzyć innych.

Oczywiście lwy są bardzo głodne, ale nie próbują walczyć ze sobą, ponieważ mają identyczną siłę fizyczną, a więc nieuchronnie wszystkie zginą. Ponieważ wszystkie są doskonale racjonalne, każdy lew woli głodne życie od pewnej śmierci. Bez alternatywy mogą przetrwać, jedząc zasadniczo nieograniczoną ilość trawy, ale wszyscy woleliby spożywać coś bardziej mięsnego.

Pewnego dnia na wyspie w cudowny sposób pojawia się jagnię. Wygląda na to nieszczęsne stworzenie. A jednak ma szansę przeżyć to piekło, w zależności od liczby lwów (reprezentowanych przez literę N). Jeśli któryś lew zje bezbronną owieczkę, stanie się ona zbyt pełna, by bronić się przed innymi lwami.

Zakładając, że lwy nie mogą się dzielić, wyzwaniem jest ustalenie, czy jagnię przeżyje w zależności od wartości N. Lub, ujmując to inaczej, jaki jest najlepszy sposób działania dla każdego lwa – zjeść jagnię lub nie jedz jagnięciny – w zależności od tego, ile innych jest w grupie.

rozwiązanie

Ten typ problemu teorii gier, w którym musisz znaleźć rozwiązanie dla ogólnej wartości N (gdzie N jest dodatnią liczbą całkowitą), jest dobrym sposobem testowania logiki teoretyków gier i zademonstrowania, jak działa indukcja wsteczna. Indukcja logiczna polega na wykorzystaniu dowodów w celu sformułowania wniosku, który prawdopodobnie jest prawdziwy. Indukcja wsteczna jest sposobem na znalezienie dobrze zdefiniowanej odpowiedzi na problem, cofając się krok po kroku do bardzo podstawowego przypadku, który można rozwiązać prostym logicznym argumentem.

W grze w lwy podstawowym przypadkiem byłoby N=1. Gdyby na wyspie był tylko jeden głodny lew, nie zawahałby się zjeść jagnięciny, ponieważ nie ma innych lwów, które mogłyby z nim konkurować.

Zobaczmy teraz, co dzieje się w przypadku N=2. Oba lwy dochodzą do wniosku, że jeśli jeden z nich zje jagnię i stanie się zbyt pełny, by się bronić, zostanie zjedzony przez drugiego lwa. W rezultacie żadne z nich nie próbowałoby zjeść baranka, a wszystkie trzy zwierzęta żyłyby szczęśliwie razem jedząc trawę na wyspie (jeśli życie zależne wyłącznie od racjonalności dwóch głodnych lwów można nazwać szczęśliwym).

Dla N=3, jeśli któryś z lwów zje jagnię (w efekcie sam stając się bezbronnym jagnięciem), zredukuje to grę do tego samego scenariusza, co dla N=2, w którym żaden z pozostałych lwów nie będzie próbował skonsumować jagnięciny. nowo bezbronny lew. Tak więc lew, który jest najbliżej prawdziwej jagnięciny, zjada ją i trzy lwy pozostają na wyspie, nie próbując się wzajemnie mordować.

A dla N=4, jeśli któryś z lwów zje jagnię, zredukuje to grę do scenariusza N=3, co oznacza, że ​​lew, który zjadł jagnię, sam zostanie zjedzony. Ponieważ żaden z lwów nie chce, aby tak się stało, zostawiają jagnię w spokoju.

Zasadniczo o wyniku gry decyduje działanie lwa znajdującego się najbliżej jagnięciny. Dla każdej liczby całkowitej N lew zdaje sobie sprawę, że zjedzenie jagnięciny zredukowałoby grę do przypadku N-1. Jeśli przypadek N-1 skutkuje przeżyciem jagnięciny, zjada ją najbliższy lew. W przeciwnym razie wszystkie lwy pozostawią jagnię do życia. Tak więc, podążając za logiką za każdym razem, wracając do przypadku podstawowego, możemy wywnioskować, że jagnię będzie zawsze zjadane, gdy N jest liczbą nieparzystą i przeżyje, gdy N jest liczbą parzystą.

O autorze

Amirlan Seksenbayev, doktorant nauk matematycznych, prawdopodobieństwo i zastosowania, Queen Mary University of London

Ten artykuł został pierwotnie opublikowany w Konwersacje. Przeczytać oryginalny artykuł.

Powiązane książki

at Rynek wewnętrzny i Amazon